Problem 313

スライドパズルでは、カウンタを空白のスペースに向けて横または縦へスライドさせることができる。ゲームの目的は、赤のカウンタを盤の左上角から右下角へ動かすことである;スペースはつねに右下角にある状態から始まる。例えば次の一連の図は、2×2の盤にて5手でゲームを完了させる様子を示している。

sliding_game_1.gif

S(m,n) を、m×n の盤でゲームを完了させる最小の手数を表すとする。
例えば、S(5,4) = 25 であることが確かめられる。

sliding_game_2.gif

100 未満の素数 p について、S(m,n)=p2 となる盤はちょうど 5482 個ある。

106 未満の素数 p について、S(m,n)=p2 となる盤は何個あるか。


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