Problem 334

プラトンの天国には、直線状に無限の枚数のボウルが存在する。
各ボウルは0個以上の有限個の豆が含まれている。
子供がゲームをプレイする。このゲームでは、1種類の手だけが許される:どれかのボウルから豆を2個取り除き、両隣の2個のボウルに1個ずつ入れる。
どのボウルも1個ないしは2個の豆を含んでいれば、ゲームは終了する。

例えば、それぞれ2個と3個の豆を含んだ隣り合う2枚のボウルを考えよう。他のボウルはすべて空である。次の8手でゲームは終了する:

p_334_beans.gif

次の数列が与えられる:

最後の数列の最初の2項は b1 = 289 と b2 = 145 である。
2枚の隣り合うボウルに b1 と b2 個の豆がある状態から始めると、ゲームを終えるのに 3419100 手が必要である。

1500 枚の隣り合うボウルにそれぞれ b1, b2,..., b1500 個の豆がある状態を考えよう。他のボウルはすべて空である。ゲームを終えるのにかかる手の数を求めよ。


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