Problem 334 「豆くずし」

プラトンの天国には, 直線状に無限の枚数のボウルが存在する.
各ボウルは0個以上の有限個の豆が含まれている.
子供がゲームをプレイする. このゲームでは, 1種類の手だけが許される:どれかのボウルから豆を2個取り除き, 両隣の2個のボウルに1個ずつ入れる.
どのボウルも1個ないしは0個の豆を含んでいれば, ゲームは終了する.

例えば, それぞれ2個と3個の豆を含んだ隣り合う2枚のボウルを考えよう. 他のボウルはすべて空である. 次の8手でゲームは終了する:

p_334_beans.gif

次の数列が与えられる:

最後の数列の最初の2項は b1 = 289 と b2 = 145 である.
2枚の隣り合うボウルに b1 と b2 個の豆がある状態から始めると, ゲームを終えるのに 3419100 手が必要である.

1500 枚の隣り合うボウルにそれぞれ b1, b2,..., b1500 個の豆がある状態を考えよう. 他のボウルはすべて空である. ゲームを終えるのにかかる手の数を求めよ.


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