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*[[Problem 422:http://projecteuler.net/problem=422]] 「双曲線上の点列」 [#c2314c76]
12'''x'''&sup{2}; + 7'''xy''' - 12'''y'''&sup{2}; = 625 の式で定義される双曲線を H とする.
次に, 点 (7, 1) を X と定義する. X は H 上にあるのがわかるだろう.
そして, H 上の点列 (sequence of points) {P&sub{'''i'''}; : '''i''' ≥ 1} を以下のように定義する:
- P&sub{1}; = (13, 61/4).
- P&sub{2}; = (-43/6, -4).
- '''i''' > 2 の '''i''' に対して, 点 P&sub{'''i'''}; は線分 P&sub{'''i'''};P&sub{'''i'''-1}; が線分 P&sub{'''i'''-2};X と平行になるように引かれた時の P&sub{'''i'''-1}; とは異なる方の H 上の唯一の点である. P&sub{'''i'''}; は明確に定義することができ, さらにそれらの座標は常に有理数となる.
#ref(p422_hyperbola.gif,center,nolink)
P&sub{3}; = (-19/2, -229/24), P&sub{4}; = (1267/144, -37/12), P&sub{7}; = (17194218091/143327232, 274748766781/1719926784) がすでに与えられている.
'''n''' = 11&sup{14}; のときの P&sub{'''n'''}; を求め, 以下のフォーマットで答えよ:~
もし P&sub{'''n'''}; を既約分数, また分母を正数として ('''a'''/'''b''', '''c'''/'''d''') で表した時, 答えは ('''a''' + '''b''' + '''c''' + '''d''') mod
1 000 000 007 とする.
例えば '''n''' = 7 のとき, 答えるべき解答は 806236837 となる.
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