Problem 499 「サンクトペテルブルグのくじ」

博打打ちがある特別なくじに参加することを決めた. このくじでは, 博打打ちは1回かそれ以上の一連のゲームをプレイする. それぞれのゲームではプレイするのに m ポンドのコストがかかり, 最初の掛け金は1ボンドからスタートする. 博打打ちは偏りのないコインを1個投げる. 表が出るたびに掛け金は2倍となり, 博打打ちはゲームを続ける. 裏が出たら, ゲームは終了し博打打ちはその時点の掛け金を受け取る. 博打打ちは少なくとも, ゲームの初期費用である m ポンドのコストを掛けて, 開始時の掛け金である1ポンドを必ず手に入れることができる.

もし博打打ちの手持ちの財産が m ポンド以下となると, プレイし続けることができなくなる.
博打打ちの持っている財産を s, ゲームごとのコストを m とした時, このくじでお金を使い果たすことのない場合の確率を pm(s) と表そう.
例として, p2(2) = 0.2522, p2(5) = 0.6873, そして p6(10 000) = 0.9952 (注記: s < m のとき, pm(s) = 0).

p15(109)を求め, 回答を 0.abcdefg の形式で答えよ.


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