*[[Problem 402:http://projecteuler.net/problem=402]] 「整数値多項式」 [#r040de19]

多項式 &tex{n^{4} + 4n^{3} + 2n^{2} + 5n}; はすべての整数 &tex{n}; において 6 の倍数となることを示すことができる. また, このような性質を満たす最大の整数は 6 であることを示すことができる.

&tex{n^{4} + an^{3} + bn^{2} + cn}; がすべての整数&tex(n);で &tex{m}; の倍数となるような最大の &tex{m}; を M(&tex{a, b, c};) と定義しよう. 例えば, M(4, 2, 5) = 6 となる.
&tex{n^{4} + an^{3} + bn^{2} + cn}; がすべての整数 &tex{n}; で &tex{m}; の倍数となるような最大の &tex{m}; を M(&tex{a, b, c};) と定義しよう. 例えば, M(4, 2, 5) = 6 となる.

同様に, 0 < &tex{a, b, c}; &le; &tex{N}; のときの M(&tex{a, b, c};) の和を S(&tex{N};) と定義しよう.

S(10) = 1972 , そして S(10000) = 2024258331114 であることがわかる.

フィボナッチ数列 F&tex{_{k}}; を次のように定義しよう:

F&sub{0}; = 0, F&sub{1}; = 1,~
そして &tex{k}; &ge; 2 のとき F&tex{_{k}}; = F&tex{_{k-1}}; + F&tex{_{k-2}};.

2 &le; k &le; 1234567890123 のときの ΣS(F&tex{_{k}};) の末尾9桁を求めよ.

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