*[[Problem 153:http://projecteuler.net/problem=153]] 「ガウス整数の調べ上げ」 [#u6c62b84]

方程式 &tex{x^{2} = -1}; が実数 x について解が存在しないことは誰もが知っている. ~
しかし, 虚数 i を導入することで方程式は2つの解 x = i , x = -i を持つ. ~
さらに, 方程式 &tex{(x - 3)^{2} = -4}; は二つの複素数の解 x = 3+2i , x = 3-2i を持つ. ~
x = 3+2i と x = 3-2i は他方の共役複素数と呼ばれる. ~
a + bi という形の数は複素数と呼ばれる. ~
一般に, a + bi と a - bi は他方の共役複素数である.

ガウス整数とはaとbがともに整数である複素数 a + bi のことである. ~
普通の整数はまた, ガウス整数である. (b = 0 のケース)~
b ≠ 0 のガウス整数と区別するために, 普通の整数を"有理整数"と呼ぶことにする. ~
有理整数 n をあるガウス整数で割った結果がガウス整数である場合, そのガウス整数は約数と呼ばれる. ~
例として, 5 を 1+2i で割ると, &ref(http://projecteuler.net/project/images/p_153_formule1.gif,nolink);は以下のように簡略化できる. ~
分子と分母に1+2iの共役複素数(1-2i)を掛ける. ~
結果は, &ref(http://projecteuler.net/project/images/p_153_formule2.gif,nolink);となる. ~
よって, 1+2i は 5 の約数である. ~
1+i は&ref(http://projecteuler.net/project/images/p_153_formule5.gif,nolink);なので 5 の約数でないことに注意. ~
さらに, ガウス整数(a+bi)が有理整数 n の約数ならば, その共役複素数(a-bi)もまた n の約数となることにも注意.

実際, 5 は実部が正となる約数を, {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}の6個持つ. ~
以下に最初の5個の正の有理整数の約数の表を示す.

|n|実部が正のガウス整数の約数|約数の和 s(n)|
|1|1|1|
|2|1, 1+i, 1-i, 2|5|
|3|1, 3|4|
|4|1, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,4|13|
|5|1, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 5|12|

正の実部を持つ約数について, &ref(http://projecteuler.net/project/images/p_153_formule6.gif,nolink);を得る.

1 ≤ n ≤ &tex{10^{5}}; について, ∑s(n) = 17924657155 となる.

1 ≤ n ≤ &tex{10^{8}}; について, ∑s(n) を求めよ.

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