Problem 403

Problem 403 「放物線と直線で囲まれた格子点」 †

整数 a と b に対し, 放物線 y = x2 と直線 y = a·x + b で囲まれた領域 D(a, b) を定義しよう, すなわち:
D(a, b) = { (x, y) | x2 ≤ y ≤ a·x + b }.

D(a, b) に含まれる格子点の個数を L(a, b) と定義しよう.
例として, L(1, 2) = 8, そして L(2, -1) = 1.

さらに D(a, b) の面積が有理数であり, かつ |a|, |b| ≤ N であるすべてのペア (a, b) に対する L(a, b) の和を S(N) と定義する.
S(5) = 344, そして S(100) = 26709528 であることが確認できる.

S(1012) を求めよ. 回答は 108 を法として答えよ.