Problem 483 「反復置換」

要素 {1, 2, 3, ..., n} の順番を並べ替える操作を置換と定義しよう. そのような置換は n! 個あり, そのうちの1つはそれらの要素を当初の順番のままにしておく. n = 3 のとき 3! = 6 個の置換がある:

これらの置換から一つを選び, 同じ置換を繰り返し再適用すると, 最終的に当初の順番に戻る. ある置換 P&sub{i}; に対し, 置換 P&sub{i}; を繰り返し適用して当初の順番に戻るまでに必要な回数を f(P&sub{i};) としよう.
n = 3 のとき, このようになる:

長さ n の全ての置換 P&sub{i}; に対し f&sup{2};(P&sub{i};) の平均値を g(n) としよう.

g(3) = (1&sup{2}; + 2&sup{2}; + 2&sup{2}; + 2&sup{2}; + 3&sup{2}; + 3&sup{2};)/3! = 31/6 ≈ 5.166666667e0
g(5) = 2081/120 ≈ 1.734166667e1
g(20) = 12422728886023769167301/2432902008176640000 ≈ 5.106136147e3

g(350) を求め, 有効数字が10桁になるよう四捨五入して科学的記数法によって回答を記入せよ, 例のように仮数部と指数部のセパレーターには小文字のeを使うこと.


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Last-modified: 2016-11-18 (金) 23:53:08