Problem 137 「フィボナッチ金塊」

フィボナッチ数列 Fk = Fk-1 + Fk-2, F1 = 1, F2 = 1 (Fk = 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) によって与えられる無限級数 AF(x) = xF1 + x2F2 + x3F3 + ... を考える.

この問題では, AF(x) が正の整数となるような x の値について考える.

驚くべきことに, AF(1/2) = (1/2)×1 + (1/2)2×1 + (1/2)3×2 + (1/2)4×3 + (1/2)5×5 + ... = 1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ... = 2 である.

最初の 5 つの自然数に対する x の値を下表に示す.

xAF(x)
√2−11
1/22
(√13−2)/33
(√89−5)/84
(√34−3)/55

x が有理数のときの AF(x) の値を, 非常に稀なので, "金塊" (golden nugget) と呼ぶ. 実際, 10 番目の "金塊" は 74049690 である.

15 番目の "金塊" を求めよ.


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Last-modified: 2021-10-26 (火) 10:38:43