Problem 229

Problem 229 「平方数による4通りの表し方」 †

3600 は特殊な数字である, というのは以下の特徴があるからである.

• 3600 = 482 +     362
• 3600 = 202 + 2×402
• 3600 = 302 + 3×302
• 3600 = 452 + 7×152

同様に, 82201 = 992 + 2802 = 2872 + 2×542 = 2832 + 3×542 = 1972 + 7×842 である.

1747年, オイラーはどのような数が平方数の和で表せるか証明した. 我々は以下のような4通りの式で表せる数nに着目する.

• n = a12 +   b12
• n = a22 + 2b22
• n = a32 + 3b32
• n = a72 + 7b72

ak,bkは正整数とする.

107以下ではこれを満たす整数は75373個ある.
2×109以下ではいくつあるか.

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