平方根は連分数の形で表したときに周期的であり, 以下の形で書ける:
√N = a0 + 1 / (a1 + 1 / (a2 + 1 / (a3 + ...)))
例えば, √23を考えよう.
√23 = 4 + √23 - 4 = 4 + 1 / (1 / (√23 - 4)) = 4 + 1 / (1 + (√23 - 3) / 7)
となる.
この操作を続けていくと,
√23 = 4 + 1 / (1 + 1 / (3 + 1 / (1 + 1 / (8 + ...))))
を得る.
操作を纏めると以下になる:
- a0 = 4, 1/(√23-4) = (√23+4)/7 = 1 + (√23-3)/7
- a1 = 1, 7/(√23-3) = 7(√23+3)/14 = 3 + (√23-3)/2
- a2 = 3, 2/(√23-3) = 2(√23+3)/14 = 1 + (√23-4)/7
- a3 = 1, 7/(√23-4) = 7(√23+4)/7 = 8 + (√23-4)
- a4 = 8, 1/(√23-4) = (√23+4)/7 = 1 + (√23-3)/7
- a5 = 1, 7/(√23-3) = 7(√23+3)/14 = 3 + (√23-3)/2
- a6 = 3, 2/(√23-3) = 2(√23+3)/14 = 1 + (√23-4)/7
- a7 = 1, 7/(√23-4) = 7(√23+4)/7 = 8 + (√23-4)
よって, この操作は繰り返しになることが分かる. 表記を簡潔にするために, √23 = [4;(1,3,1,8)]と表す. (1,3,1,8)のブロックは無限に繰り返される項を表している.
最初の10個の無理数である平方根を連分数で表すと以下になる.
- √2=[1;(2)], period=1
- √3=[1;(1,2)], period=2
- √5=[2;(4)], period=1
- √6=[2;(2,4)], period=2
- √7=[2;(1,1,1,4)], period=4
- √8=[2;(1,4)], period=2
- √10=[3;(6)], period=1
- √11=[3;(3,6)], period=2
- √12= [3;(2,6)], period=2
- √13=[3;(1,1,1,1,6)], period=5
N ≤ 13で奇数の周期をもつ平方根は丁度4つある.
N ≤ 10000 について奇数の周期をもつ平方根が何個あるか答えよ.
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